حل تمرین های ترکیبی فصل 6 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 100 - تمرین 1 این مسئله یک کاربرد مستقیم از **رابطه‌ی فیثاغورس** است. سطح شیب‌دار، ارتفاع عمودی و فاصله‌ی افقی، یک **مثلث قائم‌الزاویه** تشکیل می‌دهند. * **اضلاع قائم:** $a = 55 \text{ m}$ و $b = 15 \text{ m}$ * **وتر (طول سطح شیب‌دار):** $x$ (ضلع روبه‌روی زاویه‌ی $90^{\circ}$) ### **گام ۱: نوشتن رابطه‌ی فیثاغورس** $$\text{ضلع قائم اول}^2 + \text{ضلع قائم دوم}^2 = \text{وتر}^2$$ $$55^2 + 15^2 = x^2$$ ### **گام ۲: محاسبه‌ی مجذورها** $$55^2 = 55 \times 55 = 3025$$ $$15^2 = 15 \times 15 = 225$$ ### **گام ۳: جمع و ریشه‌گیری** $$x^2 = 3025 + 225$$ $$x^2 = 3250$$ $$x = \sqrt{3250} \text{ m}$$ ### **گام ۴: ساده‌سازی رادیکال (اختیاری)** می‌توانیم عدد $3250$ را به عواملی تجزیه کنیم تا رادیکال ساده شود. $3250 = 25 \times 130$: $$x = \sqrt{25 \times 130} = \sqrt{25} \times \sqrt{130}$$ $$\mathbf{x = 5\sqrt{130} \text{ m}}$$ اگر بخواهیم مقدار تقریبی را بدانیم: $\sqrt{130} \approx 11.4$. پس $x \approx 5 \times 11.4 = 57 \text{ m}$. **پاسخ نهایی:** طول سطح شیب‌دار $\mathbf{5\sqrt{130}}$ متر است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 100 - تمرین 2 این تمرین به بررسی **الگوهای هندسی** با استفاده از مثلث‌های هم‌نهشت و محاسبه **محیط** آن‌ها می‌پردازد. ابتدا باید طول ضلع نامعلوم مثلث اصلی را پیدا کنیم. ### **الف) تحلیل اضلاع و محیط مثلث اصلی (شکل شماره ۱)** * **اضلاع قائم:** $a = 4 \text{ cm}$ و $b = 2 \text{ cm}$ * **وتر:** $c = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ cm}$. (مقدار $5 \text{ cm}$ در شکل نادرست است، از مقدار صحیح $2\sqrt{5} \text{ cm}$ استفاده می‌کنیم). * **محیط مثلث:** $P_1 = 4 + 2 + 2\sqrt{5} = (6 + 2\sqrt{5}) \text{ cm}$ ### **ب) رسم دو شکل بعدی و محاسبه محیط‌ها** الگو به گونه‌ای است که با افزودن یک مثلث هم‌نهشت به شکل قبلی، یک چندضلعی جدید ایجاد می‌شود که **همیشه یک ضلع داخلی پنهان شده و دو ضلع بیرونی به محیط اضافه می‌شود.** | شکل | تعداد مثلث | شکل هندسی | محیط ($P_n$) | محیط بر اساس $L$ (طول، $4 \text{ cm}$)، $W$ (عرض، $2 \text{ cm}$)، $H$ (وتر، $2\sqrt{5} \text{ cm}$) | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | **شکل ۱** | $1$ | مثلث | $P_1 = L + W + H$ | $4 + 2 + 2\sqrt{5} = 6 + 2\sqrt{5}$ | | **شکل ۲** | $2$ | متوازی‌الاضلاع | $P_2 = 2L + 2H$ | $2(4) + 2(2\sqrt{5}) = 8 + 4\sqrt{5}$ | | **شکل ۳** | $3$ | ذوزنقه | $P_3 = 2L + W + 2H$ | $2(4) + 2 + 2(2\sqrt{5}) = 10 + 4\sqrt{5}$ | | **شکل ۴** | $4$ | متوازی‌الاضلاع | $P_4 = 2L + 2H$ | $\mathbf{8 + 4\sqrt{5}}$ | | **شکل ۵** | $5$ | ذوزنقه | $P_5 = 2L + W + 2H$ | $\mathbf{10 + 4\sqrt{5}}$ | **توضیح رسم:** * **شکل ۴:** با افزودن یک مثلث به شکل ۳، دوباره یک متوازی‌الاضلاع بزرگ ایجاد می‌شود (یک ضلع $2 \text{ cm}$ مخفی شده و یک ضلع $4 \text{ cm}$ اضافه می‌شود). محیط دوباره $8 + 4\sqrt{5}$ است. * **شکل ۵:** با افزودن یک مثلث به شکل ۴، یک ذوزنقه‌ی بزرگ‌تر ایجاد می‌شود (یک ضلع $4 \text{ cm}$ مخفی شده و یک ضلع $2 \text{ cm}$ و یک ضلع $4 \text{ cm}$ به محیط اضافه می‌شود. در واقع به طور متناوب الگوهای $4\text{ cm}$ و $2\text{ cm}$ به محیط اضافه می‌شوند). ### **ج) محیط شکل شماره $6$** الگوی محیط به صورت متناوب تکرار می‌شود: $P_{n}$ برای $n$ زوج (متوازی‌الاضلاع) و $P_{n}$ برای $n$ فرد (ذوزنقه). * $n=6$ (زوج): شکل متوازی‌الاضلاع است. $$P_6 = P_2 = P_4 = 8 + 4\sqrt{5} \text{ cm}$$ ### **د) محیط شکل شماره $7$** * $n=7$ (فرد): شکل ذوزنقه است. $$P_7 = P_3 = P_5 = 10 + 4\sqrt{5} \text{ cm}$$